资金管理

數學家的賭局：凱利公式推導證明！

2020-04-14资金管理

本文摘要：上篇文章推出後，許多人來信希望能提供凱利公式詳細的推導過程。牧清華一向不喜歡講解複雜的數學公式，原本想一一回信就好。但想了想，若讀者能"大略瞭解"凱利公式

本文摘要：上篇文章推出後，許多人來信希望能提供凱利公式詳細的推導過程。牧清華一向不喜歡講解複雜的數學公式，原本想一一回信就好。但想了想，若讀者能"大略瞭解"凱利公式的推導，相信在資金管控上的修練肯定更高一層。因此我還是試著用儘量簡單的方式陳述，希望不會澆滅投資者對交易的熱忱。當然，目的只有一個 --

祝大家都賺大錢！

凱利公式推導 (單一事件賭局)
單一事件賭局：勝率為p，賠率為b (壓1元贏了可拿回1+b元，輸了1元全賠光)

假設這賭局可不斷的重複玩下去，且每次都壓手上全部資金的比例 f (例如 f = 60%)。我們的工作是去決定這個 f 該選多少，使得在玩過多次賭局後，資金成長最快。

假設 At
表示玩到第 t 次賭局後的資金，我們分成下面兩個CASEs討論：

CASE 1：若第 t - 1次賭局的結果為贏，則 At = At-1(1 + bf)　
(說明) 因為每次都壓原來資金的 f 比例。換句話說，在時間點 t - 1時一共壓了At-1f 那麼多資金。因為賭局結果為贏，且賠率為b，所以會淨賺At-1fb，再加上原來的資金At-1，故在時間點 t 的資金變為

At = At-1 + At-1fb = At-1(1 + bf)

CASE 2: 若第t - 1次賭局的結果為輸，則 At = At-1(1 - f)
(說明) 因為每次都壓原來資金的 f 比例。換句話說，在時間點 t - 1時一共壓了At-1f 那麼多資金。因為賭局結果為輸，且所壓的資金是全部輸光，所以一共賠了At-1f，故在時間點 t 的資金變為

At = At-1 - At-1f = At-1(1 - f)

有了上面兩個CASEs後，我們可以開始計算每一次賭局後的資金變化：

只要下一個時間點贏，就將原來的資金乘上(1 + bf)；只要下一個時間點輸，就將原來的資金乘上(1 - f)。

我們假設總共玩了T次。在T次的賭局裡，贏了W次，輸了L次 (也就是T = W + L)。因此，從一開始 (時間點為 t = 0)手上的資金為 A0，到時間點 T 的總資金可以表示如下：

AT = A0(1 + bf)W(1 - f)L

再來要做的工作便是決定 f 多少，使得AT 可以最大化。這就完全是微積分求最大值的計算問題。我們用下面圖一展示這個計算推導。

圖一：單一事件賭局的凱利公式推導

結論：由上面推導可知，每一次賭局所要投入的資金比例為期望淨利除上賠率。注意到當期望淨利為正的時候(分子為正)，變是第一篇所提的有利賭局。只有在有利賭局的時後，才值得下注，而上面的推導告訴你該怎麼下注？以上為單一事件凱利賭徒的解釋與證明。
凱利公式推導(多重事件賭局)
多重事件賭局：一枚硬幣賭局，人頭出現機率為 p1，賠率為 b1；數字出現機率為p2，賠率為 b2。

假設每次下注的方式為壓資金的f1 比例在人頭，壓資金的f2 比例在數字。(註：p1 + p2 = 1；b1 + b2 = 1)，則 f1 與 f2 要如何決定，可以使得玩過多次賭局後，資金成長最快。(註： f1 + f2界在0與1之間 (包含))

類似單一事件賭局的推導過程，我們假設At
表示玩到第t次的總資金，我們分成下面兩個CASEs討論：

CASE 1：若在第t - 1回合人頭出現，則 At = At-1(1 + b1f1– f2)

(說明) 因為每次都壓原來資金的 f1
比例在人頭上，f2比例在數字上。如果時間點 t - 1時人頭出現，且賠率為b1，則可淨賺At-1b1f1，但是壓在數字上面的金額At-1f2 會全部輸光。最後，再加上原來資金At-1，故在時間點 t 的資金變為

At = At-1 + At-1f1b1 – At-1f2 = At-1(1 + b1f1– f2)

CASE 2：若在第t - 1回合數字出現，則 At = At-1(1 + b2f2– f1)
(說明) 此部份的推導過程完全與CASE 1對稱， f1跟f2、b1跟b2對調而已。

有了上面兩個CASEs後，我們可以開始計算每一次賭局後的資金變化。

只要下一個時間點人頭出現，就原來的資金乘上(1 + b1f1– f2)；只要下一個時間點數字出現，就原來的資金乘上(1 + b2f2– f1)。

我們假設賭局進行T 回合，人頭出現W1次，數字出現W2次 (也就是T = W1+ W2)。因此，從一開始(時間點t = 0) 手上的現金為A0，到時間點T 的總資產可以表示如下：

AT = A0(1 + b1f1– f2)W1(1 + b2f2– f1)W2